[tim]

Damit ihr das nicht vergesst/aufgebt

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Wie gross ist die rote Flaeche? (Aeusseres Quadrat hat Seitenlaenge 1)

Ich habs nicht vergessen
Da bisher niemand auf die richtige Lösung gekommen ist

Jörg (\edit: und Moritz?) hat's noch hingekriegt (und zwar in gefühlten 5 min o_O). Zumindest sah das alles sehr vernünftig aus, was er gemalt hatte. Aber ein bisschen schöner muss es eigentlich noch gehen. Ich überleg auch mal weiter. ^^

Zur Comp:
4x4: 59.01+2 und 1:00.08 mit U U' am Ende #sub-1-fail
4x4bld: 6:2x mit 3 centers falschrum gecyclet #4bld-win-fail
multi: Falsche Cubes greifen, es bemerken und dann die falschen rückgängig machen #multi-fail (muhahahaha Wortspiel!)

P.S.: Sébastien ist käuflich und zudem noch ausgesprochen billig.

[Kko14]

Zum Rätsel:

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Ich hab einen Ansatz....
Ich denke man kann einfach über die Kreisabschnitte gehen
Es ist ja nur eine und nicht die kürzeste Lösung gefragt...


Radius der Kreise aus denen die Kreisabschnitte stammen ist 1.
Ich würde das erstmal Bild um einen Vollkreis erweitern ( einen der vier Kreisabschnitte zuende zeichnen ), ein viertel der roten Fläche lässt sich dann mit einer passend gelegten Sekante in ein rechtwinkliges Dreieck und einen Kreisabschnitt teilen...

Über 2x Pythagoras und einsetzen in die Kreisgleichung bekommt man die Punkte in denen die Sekante den Kreis schneidet und kann so das Dreieck berechnen...
An dem Kreiabschnitt bin ich noch dran^^.
Edit:
Für den Abstand zwischen den beiden Sekantenschnittpunkten wieder ein Pythagoras.

Rechnung kommt nachher.

[Kko14]

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Rechnung:
legt man für die Rechnung den KO-Ursprung in die Mitte des Quadrats erhält man als weitere Punkte des Dreiecks (Längeneinheit 1 immernoch nach dem Quadrat):
( A (0|0) ); B ( (3/4)^(1/2) -1/2 | 0 ); C ( 0 | (3/4)^(1/2) -1/2)
A= 4 * [ (( (3/4)^(1/2) -1/2) ^2)/2 + "Kreisabschnitt"]
Somit
A= 0.2679.... + 4x "Kreisabschnitt"

Sehne: s=0.51763809020504....

Den Rest rechne ich morgen, wenn ihr es bis dahin noch nicht habt...

Ist das richtig?

[spitcuba]

Damit ihr das nicht vergesst/aufgebt

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Wie gross ist die rote Flaeche? (Aeusseres Quadrat hat Seitenlaenge 1)

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Also ich habs über Integral gemacht und raus kam bei mir 0.81 mein Bruder hat irgend was mit 0.89 raus. Was ist denn das richtige Ergebnis? ^^

[Kko14]

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Also wenn ich das auf dem Bild mal so abschätze muss eigentlich was unter 0,5 rauskommen...
Zieht doch einfach mal von den Mitten jeder Seite zu den nebengelegenen eine Linie...
dann bleibt in der Mitte 1/2 über und das ist nicht alles rot...

[realcube]

Ne, und es geht auch ohne Integralrechnung...

Lösung (Click to View)

...ich will ja echt nicht den Spaß verderben, aber es es könnte sein, daß die richtige Lösung irgendwie schon genannt wurde...
Die Erklärung schicke ich gerne auf Anfrage per PN zu.

[schnitzeljäger]

Meine gedachte Lösung funktioniert so wie ichs im Kopf geplant habe

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Achtung, im nächsten Spoiler steht die Wahrheit und nichts als die Wahrheit!

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aus guten alten zeiten habe ich folgende Werte für sinus/cosinus für 30°/45°/60° im Kopf:
0,5*sqrt(1) ; 0,5*sqrt(2) ; 0,5*sqrt(3) ;
da sich die Kreise mit Mittelpunkt rechts-oben/unten auf y=0,5 schneiden, kann man daraus schliessen, dass die Schnittpunkte die Teilkreise dritteln.
ein Pizzastück ist somit pi/12 groß.
das enthaltene Dreieck hat die Fläche 1/4 (Grundseite=1;Höhe=0,5; ist einfacher beim unteren Dreieck zu sehen).
die Länge der Sekante (bzw. direkt die Fläche des Innenquadrats) durch 2 Schnittpunkte lässt sich mit dem special awesome pitagyros berechnen: c²=a²+b²-2ab*cos(phi)=1+1-2*1*1*cos(30°)
=2-2*0,5*sqrt(3)=2-sqrt(3)
Summe: 4* Pizza - 4* Dreieck+ Quadrat=pi/3-1+2-sqrt(3)=pi/3+1-sqrt(3)

[moritz]

ja ich hab die aufgabe einfach mal brutal mit dem analysishammer erschlagen und ein potthässliches integral aufgestellt. war dann zu faul für die substitution aber ich habs gewolframalphat und der gibt aus:

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0.315147 und stefan hat ja gesagt "in der größenordnung 1/3" also denk ich doch dass das stimmt.
das integral

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http://www.wolframalpha.com/input/?i=4*integral+%28from+0.5+to+sqrt+0.75%29+sqrt%281-x^2%29-0.5

aber wir sind ja auf der suche nach der angeblich ach so schönen lösung...

[loose]

Pah, integrieren kann ja jeder...
5 Minuten mit Zirkel, Lineal und Schulgeometrie ergibt:

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π/3 - sqrt(3) + 1

Edit:
schnitzeljäger war wohl schneller, so kann ich mir die Details sparen

[realcube]

jup (Click to View)

Man betrachte die Schnittmenge zweier Viertelkreise (deren Mittelpunkte an der gleichen seite des Quadrates liegen)
--> dies ergibt einen "Zuckerhut"
Über diesen Zuckerhut läßt sich mit der Differenz zum Viertelkreis die innere Fläche ermitteln: Quadrat - 4*(Viertelkreis-Zuckerhut)
Der Flächeninhalt des Zuckerhuts läßt sich leicht über die Differenz des eingeschlossenen gleichseitigen Dreiecks der Kantenlänge 1 und dem Sechstelkreis ermitteln: Man addiert einfach diese Differenz zum Sechstelkreis hinzu: 1/6pi + 1/6pi - Wurzel(3)/4